Zapisi iz treće kulture | Darko Polšek

Poglavlje 40.

DOKAZI I OPOVRGAVANJA

u kojem se slavi dogovaranje čak i u matematici

Britanskog filozofa mađarskog podrijetla, Imre Lakatosa, naša je filozofska publika dosad poznavala na temelju kod nas objavljenih članaka “Historija nauke i njezine racionalne rekonstrukcije” i “Beskonačni regres i zasnivanje matematike”. Nedavno je u ediciji “Moderna matematika” prevedena i objavljena njegova jedina (nedovršena, posthumno objavljena) knjiga Dokazi i opovrgavanja, remek-djelo filozofije i matematike. Imre Lakatos jedan je od najpoznatijih filozofa i metodologa znanosti. Kao učenik Karla Poppera kritizirao je jednostavnu metodu nagađanja i odbacivanja (naivni falsifikacionizam) svoga učitelja prema kojoj je jedan za hipotezu opovrgavajući primjer dovoljan za njeno odbacivanje. Popperova falsifikacionistička metoda po Lakatosu olako odbacuje velik dio racionalnog postupanja u znanosti, stoga se njegova “racionalna rekonstrukcija” u neskladu s realnom poviješću znanosti. Lakatos dokazuje da pojam “opovrgavajućeg slučaja” nije jednostavan. Falsifikatori su sredstva za pojašnjenje “naivne slutnje” i pretpostavki u njenu dokazivanju, oni su granični slučajevi u određivanju domene za koju treba važiti teorem (hipoteza ili nagađanje). Stoga je jedno od presudnih pitanja u dokazivanju: koje falsifikatore naivne hipoteze valja uključiti u sadržaj dokaza, odnosno u definiciju pojmova koje objašnjavamo, jer bi postupak apriornog isključivanja falsifikatora značajno reducirao sadržaj i domenu važenja hipoteze ili teorema. Kako su falsifikatori demarkacijske linije važenja teorema i sredstva za daljnje pojašnjenje, ima smisla ustrajati u dokazivanju “opovrgnute” hipoteze. Jer svaka se hipoteza, kako kaže Feyerabend, rađa kao opovrgnuta. Interna povijest (Lakatosev izraz za “racionalnu rekonstrukciju”) treba uzeti u obzir vrijedne pokušaje “spašavanja” hipoteze ili teorema pomoću izolacije “čudovišnih protuprimjera”. Umjesto naivnog falsifikacionizma, on stoga predlaže svoju metodologiju znanstveno-istraživačkih programa kojom se ne procjenjuje izolirana hipoteza, već cijeli skup teorijskih postavki i njihovih posljedica. Metodološki programi obično počivaju na nizu odabranih teorema od kojih istraživač ne bi mogao odstupiti ili tzv. “čvrstu jezgru” i zaštitni omotač, skup izvedenih stavova iz čvrste jezgre čije opovrgavanje ne ugrožava osnovne prihvaćene stavove. Ako metodološki program predviđa ili može objasniti novospoznate empirijske činjenice on je progresivan, ako se zaštitni omotač ili čak čvrsta jezgra ad hoc prilagođavaju empirijskim podacima, on je regresivan. Interna povijest (racionalna rekonstrukcija) mora objasniti što više povijesno-empirijskih podataka. Da procjena bude cjelovitija, u procjenu racionalnosti znanstvenih teorija katkada moramo uključiti izvanjsku povijest (psihologiju i sociologiju), kako bismo shvatili razloge i lokalni smisao nekog znanstvenog prijedloga.

Ali Lakatosevo povećanje opsega činjenica, teorija i tvrdnji za procjenu racionalnosti i nova norma za usklađivanje racionalnog postupanja i realno-historijskog zbivanja nisu njegovi jedini doprinosi. Unutar kritičkog racionalizma, jedna je od njegovih najvećih zasluga uključivanje matematičkih teorija u falsifikacionistički program. Naime, metoda nagađanja i odbacivanja prema Popperu vrijedi prvenstveno za empirijske znanosti. Filozofske i matematičke se teorije uglavnom ne mogu opovrgnuti već samo kritizirati, jer su “aksiomi” matematike i filozofije od kojih se kreće u dokazivanju metafizički, tj. nedokazivi a time i neoborivi. Lakatos je međutim dokazao kako falsifikacionistički program i Popperova anti-utemeljiteljska filozofija ne isključuje matematiku. Matematički način izlaganja stvorio je privid da su prva načela izvođenja dokaza neoboriva. Tako “(D)eduktivistički način skriva borbu, sakriva pustolovinu. Iščezava cijela priča, uzastopne pokusne formulacije teorema u tijeku dokaznog postupka osuđene su na zaborav, a krajnji je rezultat uzvišen do svete nepogrešivosti” (DO, 189). Ali na čemu se temelji nepogrešivost aksioma? Na intuiciji? Smijemo li takve intuicije smatrati nepogrešivima? “Student matematike obvezan je prema euklidovskom ritualu, slijediti taj čarobnjački čin bez postavljanja pitanja o pozadini ili o tome kako je izveden taj hokus-pokus. Ako slučajno otkrije da su neke od tih neuglednih definicija proizvedene dokazima, ako ga jednostavno zanima kako te definicije, leme i teoremi ikako mogu prethoditi dokazu, opsjenar će ga zbog toga pokazivanja matematičke nezrelosti izopćiti” (DO 188). Prava opasnost za matematiku stoga leži u formaliziranju dokaza, jer se time zamagljuju pretpostavke na kojima on počiva. Stoga se “prava priča”, priča o nagađanju i opovrgavanju vidi tek kada se niz dokaza i opovrgavanja izloži neformalno.

“Formalizam” je branik filozofije logičkog pozitivizma. Prema logičkom pozitivizmu rečenica je smislena samo ako je tautologijska ili empirijska. Budući da neformalna matematika nije ni “tautologijska” ni empirijska, mora biti besmislena, krajnja glupost. Te dogme logičkog pozitivizma bile su štetne za povijest i filozofiju matematike…. Prema formalistima matematika je identična s formaliziranom matematikom. Ali što se može otkriti u formaliziranoj teoriji? Dvije vrste stvari. Prvo, može se otkriti rješenje problema što ih primjereno programiran Turingov stroj može riješiti u konačnom vremenu… Nijednog matematičara ne zanima slijeđenje jednolične mehaničke “metode” propisane takvim procedurama odluke. Drugo, mogu se otkriti rješenja problema (npr. je li određena formula u neodlučivoj teoriji teorem ili nije) u kojima smo vođeni samo “metodom” “neupravljenog uvida i dobre sreće”. No, ta tmurna alternativa između racionalnosti stroja i iracionalnosti slijepog nagađanja ne vrijedi za živu matematiku. Povijest matematike i logika matematičkog otkrića… ne mogu biti razvijene bez kritike i konačna odbacivanja formalizma. Ali formalistička filozofija matematike ima vrlo duboko korijenje. Ona je zadnja karika dugog lanca dogmatskih filozofija matematike. (DO, 12-15)

Na drugom mjestu Lakatos je prema formalizmu još kritičniji:

Tužno je vidjeti koliko mnogo “logičara” slijedi ovaj savjet i brzo zaboravlja da je predmet logike prenošenje istine a ne nizovi simbola… Njihovim je radom tehnika logike nadjačala svoj predmet i započela svoj izopačeni život. (Beskonačni regres…95 ff.)

Bitka protiv formalizma u matematici i logici oblikovala se u njegovoj knjizi Dokazi i opovrgavanja pa stoga nije čudo što je pisana kao platonički dijalog. “Dijaloški oblik trebao bi odražavati dijalektičnost priče; namjera je da ona sadrži svojevrsnu racionalno rekonstruiranu ili ‘pročišćenu’ povijest. Prava povijest bit će usklađena u bilješkama, većinu kojih stoga treba shvatiti kao organski dio eseja” (16). Dok dijalog izriče misli kao da nemaju povijesne nosioce i kontekst u kojem se one iznose, bilješke upućuju na povijest navedenih konstatacija. To je upravo metoda koju Lakatos kasnije, u “Metodologiji znanstveno-istraživačkih programa”, smatra normom znanstvene i historiografske rekonstrukcije. Filozof rekonstruira (što znači, pokazuje historijske tvrdnje kao univerzalno-apovijesno važeće) znanstvene tvrdnje u tekstu, a historičar u bilješkama upućuje na kontekst (povijest) rasprave. Prvi dio je tzv. interna povijest, a druga eksterna.

Ali dijalektičnost Lakatoseva dijaloga ne završava se tom formalnom podjelom na “internu” i “eksternu” priču. Ona se pokazuje na još dvije razine: 1. dokazi i opovrgavanja dvije su strane iste medalje. “Mi dokazivanjem nužno ne poboljšavamo. Dokazi poboljšavaju kada ideja dokaza otkriva neočekivane aspekte naivne slutnje koji se onda pojavljuju u teoremu” (62), stoga dokaz “priređuje” teren za novo opovrgavanje. Naime, naivna se slutnja ubrzo opovrgava protuprimjerom, stoga se dokaz za neki teorem mora formulirati tako da otkloni “globalne” protuprimjere za naivnu slutnju. Ali tada se kritici podvrgava “lema” kojom se ekspliciraju prešutne pretpostavke uključene u formulaciji dokaza. Dokaz teorema time postaje korak (preduvjet) za daljnje opovrgavanje. 2. Prema Lakatosu postoji “bitno jedinstvo” između “logike otkrića” i “logike opravdanja”. “Nadam se da sada svi vidite da dokazi, čak iako ne mogu dokazati, sigurno pomažu poboljšanju naše slutnje. Sprečavatelji iznimke također su je poboljšavali, ali poboljšavanje nije ovisilo o dokazivanju. Naša metoda poboljšava dokazujući. Ovo bitno jedinstvo između ‘logike otkrića’ i ‘logike opravdanja’ najvažniji je uvid metode uključivanja leme” (56). U dodatku II, Lakatos dijalektičnost zamjenjuje izrazom “heuristika” kojim bi se trebala karakterizirati ispravna metoda matematičkog istraživanja nasuprot autoritarnom matematičkom deduktivizmu ili “Euklidovskom pristupu”. “Hegelovski jezik kojim se ovdje služim trebao bi.. biti općenito sposoban za opis različitih razvitaka u matematici… Matematička je djelatnost ljudska djelatnost. Određeni aspekti te djelatnosti… mogu se proučavati psihologijom, a ostali poviješću. Heuristiku ti aspekti prvotno ne zanimaju. Ali matematička djelatnost proizvodi matematiku. Matematika, taj proizvod ljudske djelatnosti ‘sebe otuđuje’ od ljudske djelatnosti koja ju je proizvela. Ona postaje živući, rastući organizam koji stječe određenu autonomiju u odnosu na djelatnosti koja ju je proizvela; on razvija vlastite autonomne zakone rasta, vlastitu dijalektiku. Istinski kreativan matematičar upravo je personifikacija, utjelovljenje tih zakona, koji se mogu uozbiljiti samo u ljudskoj djelatnosti….” (192-3). Na ovom mjestu urednici odmah dodaju svoju primjedbu: “Nedvojbeno osjećamo da bi Lakatos ovaj odjeljak promijenio u nekim aspektima, jer je moć njegove hegelovske pozadine sve više slabila…” (193ff).

Zanimljivo je također spomenuti da je geneza Dokaza i opovrgavanja gotovo psihološki odraz Lakatoseve metode. “Izvorni esej ‘Dokazi i opovrgavanja’ bio je umnogome popravljena i poboljšana verzija prvog poglavlja njegove disertacije” (7). Uslijedila su četiri dijela eseja objavljena u The British Journal for the Philosophy of Science. Nedorađenu, posthumnu verziju knjige uredili su John Worrall i Elie Zahar; iz toga možemo zaključiti da Lakatos ni sa jednom verzijom nije bio potpuno zadovoljan i da bi se korekcije (baš kao što predlaže i njegova metoda) mogle nastaviti u beskraj.

Predmet dijaloga je Descartes-Eulerovo geometrijsko “nagađanje” koje kaže da za sve poliedre važi teorem: broj uglova minus broj rubova plus broj ploha jednako dva (V-E+F=2). Nagađanje važi za obične poliedre kao što su kocke, piramide, prizme, oktaedri i to možemo lako provjeriti. Ali takav tip provjere nije striktno matematički. Potražiti matematički (a ne empirijski) dokaz znači dati apriorne razloge zbog čega mora biti tako. Cauchy je 1813. godine ponudio dokaz pomoću metode triangulacije. Pretpostavimo da su poliedri napravljeni od gumene smjese i da im izrežemo jednu plohu. U tom slučaju dobivamo V-E+F=1. Plohe se sada mogu razvući u površinu. Plohe sada dijelimo na trokute. Naposljetku iz trokutaste mreže uklanjamo trokut po trokut. “Da bismo uklonili trokut moramo ukloniti ili brid, zbog čega nestaju jedna ploha i jedan brid ili uklanjamo dva brida i vrh, zbog čega nestaju jedna ploha, dva brida i jedan vrh” (20). U svakom slučaju ostaje V-E+F=1. “Napredni” učenici sumnjaju u sva tri koraka.

Alfa: Razumijem da ovaj pokus može biti izveden za kocku ili tetraedar, ali kako da znam da on može biti obavljen za bilo koji poliedar? Na primjer, jeste li sigurni, gospodine, da bilo koji poliedar može nakon uklanjanja plohe biti ravno rastegnut na ploču? Dvojben mi je vaš prvi korak.

Beta: Jeste li sigurni da ćete triangulacijom karte uvijek dobiti novu plohu za bilo koji novi brid? Dvojim o vašem drugom koraku.

Gama: Jeste li sigurni da su samo dvije mogućnosti – nestanak jednog brida ili dvaju bridova i vrha pri ispuštanju jednog po jednog trokuta? Da li ste jednako tako sigurni da će na kraju toga procesa ostati jedan jedini trokut? Dvojim o vašem trećem koraku.

Učitelj: Naravno da nisam siguran.

Alfa: Ali onda smo lošije prošli nego prije! Umjesto jedne slutnje sada imamo najmanje tri! I to zovete dokazom!

Sada se za svaku od ovih sumnji pojavljuju primjeri kojima se uništava “dokaz”. Protuprimjere za originalno nagađanje Lakatos naziva “globalnim”, a protuprimjere za “poboljšana” nagađanja koja isključuju globalne protuprimjere “lokalnim” protuprimjerima. Slijedimo li naivni falsifikacionizam, Eulerovo nagađanje je opovrgnuto i nema smisla dalje inzistirati na dokazu. Ali to nije najracionalnija strategija.

Strategije sprečavanja “čudovišta”, (majka s čedom u maternici ne opovrgava tvrdnju da čovjek ima jednu glavu) sastoji se u pojašnjenju definicija poliedra. Što smijemo smatrati poliedrom? Učenici navode niz definicija, ali za svaku predloženu definiciju pojavljuju se novi protuprimjeri. Učenici konstruiraju poliedarske monstrume (tetraedri blizanci, zvjezdasti poliedar itd) koji zadovoljavaju definicije ali za koje ne važi Eulerovo nagađanje. Potrebni su dakle novi lokalni uvjeti kojima će se spriječiti da monstrume nazovemo poliedrima. Rasprava postaje sve temeljnija. Ima li smisla pronalaziti monstrume (opovrgavati poboljšane prijedloge) ili je smislenije tražiti dokaze? Kako ćemo znati da za poboljšanja u definicijama ili u ekspliciranju dodanih uvjeta koje poliedri moraju zadovoljiti neće biti novih protuprimjera? Učitelj (kojega s pravom smijemo smatrati Lakatosevom personifikacijom) ne smatra da se moramo odlučiti za dogmatizam ili kriticizam, za dokazivanje ili opovrgavanje. Jer bez protuprimjera dokazi ne bi eksplicirali dodatne uvjete koji su potrebni za dokazivanje. Svako novo opovrgavanje smanjuje domenu važenja definicije i povećava broj pretpostavki. Povećani broj pretpostavki umnaža problematične slučajeve (probleme). Tako smo u oba slučaja na dobitku. Dokazivači pojašnjavaju uvjete i time razvijaju pojam (u ovom slučaju poliedra), a bez kritičara oni to ne bi bili prisiljeni činiti. Isto tako, kada ne bismo eksplicirali uvjete putem definicija, lema i sl. kritičari bi se zadovoljavali globalnim protuprimjerima koje bi bilo relativno lako odstraniti. Tako se matematički problem razvija na oba načina ili točnije, dokaz i opovrgavanje dva su uzajamno povezana vida iste stvari: razvoja matematike.

Matematika se po Lakatosu ne razvija aksiomatskim izlaganjem i savršenim (formalnim) dokazima, već u razdobljima kada se kritički preispituju protuprimjeri i pretpostavke na kojima temeljimo dokaz. Što se slobodnije preispituju protuprimjeri i pretpostavke za dokaz, to će kreativni rast matematike biti veći. “Dokle god je protuprimjer bio sramota ne samo za teorem nego i za matematičara koji ga je zastupao, dokle god su postojali samo dokazi i ne-dokazi, ali ne i osnovani dokazi sa slabim točkama, matematička kritika bila je spriječena. Nepogrešivistička filozofska pozadina euklidovske metode stvarala je autoritarne tradicijske obrasce… sprečavala objavljivanje i razmatranje slutnji i onemougućavala pojavu matematičke kritike… Ideja koju je Seidel tako jasno izložio, da dokaz može biti poštovan a da nije nepogrešiv, bila je revolucionarna 1847, a, nažalost, i danas još uvijek zvuči revolucionarno.” (184)

Ali to je tek početak priče. Leme koje smo uveli zbog protuprimjera samo su analiza dokaza, ali ne i sam dokaz. Tako dobivamo “pravo čudovište” – analizu dokaza bez dokaza. I pored toga, možemo li razumjeti dokaz bez analize dokaza? Problem sada postaju lingvističke formulacije dokaza i analize dokaza. Što čini strogost analize dokaza? Jezik ili neki vanjezični entitet? Ovi problemi vode Lakatosa u istraživanje jezičnih problema kao što su problemi granica proširenja pojmova, fleksibilnosti definicija i njihovih veza sa “entitetima” koje oni trebaju preslikati i objasniti. Koji je od protuslovnih učeničkih odgovora na ta pitanja Lakatosev, teško je reći.

U vezi s problemima dijalektike (heuristike) i matematičkog esencijalizma Lakatosevi su kritičari-obožavatelji ponudili nekoliko odgovora. Prema prvom, anarhističkom tumačenju Lakatosa ili uopće ne zanima istina ili njegova heuristika ima isuviše neodređene i disparatne tendencije da bismo je mogli nazivati “metodologijom koja gleda unaprijed”. O matematičkoj ontologiji ne može biti ni govora. Prema drugom stavu Lakatoseva se aktivistička matematika može uskladiti s esencijalizmom, tj. matematičkim realizmom. Prema toj interpretaciji, objekti matematike, kao i kod Poppera pripadaju trećem svijetu. Tako ontološki postulat nezavisnog postojanja matematičkih entiteta garantira izvjesnu fiksiranost matematičkih postulata i mogućnost konačnog rješenja problema. Ovakva je interpretacija, po mom mišljenju očito pogrešna. U knjizi Dokazi i opovrgavanja ni na jednom se mjestu ne spominju “poliedri kao takvi”, kao predmeti koji reguliraju naše tumačenje. Upravo suprotno, smisao Lakatoseva dijaloga sastoji se upravo u obrazloženju konstrukcije predmeta koji se spoznajom (dokazivanjem i opovrgavanjem) stvara. To je čini se navelo neke realiste kao što su Newton-Smith, Laudan, Hacking i Dewitt da tvrde kako “Lakatosa uopće nije zanimala istina”.

Kada pročitamo Dokaze i opovrgavanja vidjet ćemo kako se radi o krajnje ciničnoj primjedbi. Realizam, a pogotovo matematički realizam, svojim postulatima nezavisne realnosti koju aksiomi kristalno-jasno oslikavaju vodi u tzv. euklidsku metodu, u dogmatsko izlaganje matematike protiv kojega Lakatos ne štedi riječi. Postuliranje matematičkih entiteta ima istu vrijednost kao i postuliranje matematičkih aksioma. Lakatos je uvjerljivo pokazao kako ni u matematici nema smisla govoriti o entitetima nezavisno od njihove teorijske konstrukcije, kako “značenja ne prekoračuju njihovu upotrebu”.

Jednu od najzanimljivijih interpretacija, ili točnije, upotreba Lakatoseve knjige Dokazi i opovrgavanja dao je David Bloor. Bloor rekonstruira Lakatosev dijaloški niz kao socijalni proces, proces pregovaranja u matematičkom spoznavanju. No, za razliku od Hegela, Lakatosa i Poppera, za koje se ideje naposljetku “otuđuju” od svojih nosilaca, po Blooru nastale i proizvedene matematičke spoznaje nemaju zasebno postojanje. “Ekstenzije značenja i upotrebe ne postoje po sebi. Buduće upotrebe i ekstenzije značenja pojmova i njihove implikacije nisu prisutne u tim idejama kao u embriju…Pojam poliedra ne može određivati ljudsko ponašanje tako da odluči što se smije a što ne smije uključiti u njihov doseg… Ali to ne znači da ne postoje granice… U tom nizu psiholoških tendencija povlači se socijalno etablirana granica.” Zadatak koji Bloor poduzima jest kategorizacija psihosocijalnih portreta govornika Lakatoseva dijaloga, kako bi ustanovio dominantni tip psihosocijalnih reakcija na navedeni problem. Premda je Lakatos svoje likove depersonalizirao (Alfa, Beta, Gama…) svjesno zanemarujući njihova moguća psihološka obilježja (a pogotovo socijalna), u njihovim reakcijama doista se mogu raspoznati vrlo različiti socijalni tipovi reakcija od kojih su neki “društveno poželjni”, a neki “nepoželjni”. Krajnji cilj ove kategorizacije jest obrazloženje socijalnog utjecaja obrazaca ponašanja na tip konstrukcije matematičkih predmeta i matematičkih spoznaja. Lakatos je pokazao kako razdoblja kritike koincidiraju s rastom matematičke spoznaje. Kriticizam međutim nije samo teorijska vrlina, već kao i svaka vrlina svoj razlog postojanja nalazi u socijalnoj podršci.

Neortodoksnost Lakatosevih stavova bit će zasigurno još dugo inspiracija za nova tumačenja, za nova dokazivanja i opovrgavanja, ne samo za matematičare, filozofe matematike  već i za filozofe uopće.